GAMES101 课程 1、2 记录 & 作业 0 题解

最近开始补一直没学的图形学内容，发现部分内容在学 SLAM 的时候都见过，这种似曾相识的感觉还是挺有意思的。

Lecture 1 概论

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta \Rightarrow \cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}$ 对于单位向量有 $\cos\theta = \hat{a}\cdot\hat{b}$
向量点乘满足交换律和分配律
- $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$
- $\vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$
- $(k\vec{a})\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot(k\vec{b}) = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$
在笛卡尔坐标系下

\begin{equation} \tag{2D} \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b \end{equation}

\begin{align} \tag{3D} \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b \end{align}

\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_az_b - y_bz_a \\ z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b - y_ax_b \end{pmatrix}

可以用反对称矩阵表示

\vec{a}\times\vec{b} = A^*b = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}

不满足交换律： $\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}$ ，满足分配律
应用场景：
- 建立三维直角坐标系（右手系）
- 通过右手法则判断向量左右关系（看最后叉乘向量方向）
- 判断点在多边形内：以三角形为例，判断点 $P$ 在三角形 $ABC$ 内即判断 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BP}, \overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CP}$ 结果向量是否同向（同号）

常见的变换性质（来自视觉 SLAM 十四讲）： $R$ 是正交矩阵， $A$ 是可逆矩阵， $s$ 是缩放因子， $t$ 是平移， $a^T$ 是缩放， $v$ 是齐次时增加的量

变换名称	矩阵形式	自由度	不变性质
欧式变换	$\begin{bmatrix}R & t \\ 0^T & 1\end{bmatrix}$	6	长度、夹角、体积
相似变换	$\begin{bmatrix}sR & t \\ 0^T & 1\end{bmatrix}$	7	体积比
仿射变换	$\begin{bmatrix}A & t \\ 0^T & 1\end{bmatrix}$	12	平行性、体积比
射影变换	$\begin{bmatrix}A & t \\ a^T & v\end{bmatrix}$	15	接触平面的相交和相切

其实这个作业就是配一个环境，照着需要的去安装就行了，推荐 Windows 下环境用这个：