这两节的内容主要是变换，包括建模时的缩放、平移、旋转都属于变换，而当物体在三维空间中处于世界坐标系下，摄像机去观察的时候，我们需要从世界坐标系将物体变换到相机坐标系中，最后当物体最后呈现在显示器上时，又需要进行投影变换，因此，变换也是及其基础的两节内容。

Lecture 3 变换【二维与三维】

一、变换类型

• 模型变换【Modeling】
  • 缩放【scale】
  • 平移【Translation】
  • 旋转【Rotation】
  • 切变【Shear】
• 视图变换【Viewing】
  • 3D 转 2D 的投影【Projection】

二、二维变换

这里的二维变换除了平移都是利用矩阵进行线性变换，做变换的时候我喜欢理解为，改变了物体所在空间坐标系的基造成了图像的变换，也就是基变换，忘了的话可以在 3Blue1Brown 的这期视频【线性代数的本质 - P13 基变换】重新回忆一下。

• 缩放【Scale】

  

  假设组成左图的每个像素坐标为 $(x, y)$，组成右图的每个像素坐标为 $(x', y')$，其中 $x' = s_x \times x, y' = s_y \times y$，转化为矩阵形式则能得到这样的表示：
  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

• 镜像【Reflection】

  

  图像对应某个轴翻转也就是对应像素坐标都进行变号，这里是对于 $y$ 轴的镜像，于是可以得到：
  $$x' = -x \\ y' = y$$

  将坐标以矩阵形式表达也就是

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

• 切变【Shear】

  

  假设组成左图的每个像素坐标为 $(x, y)$，组成右图的每个像素坐标为 $(x', y')$，右图中偏转角度为 $\theta$，则可以得到：
  $$\left \{ \begin{aligned} x' & = x + y \cdot \tan \theta \\ y' & = y \end{aligned} \right.$$

  将坐标以矩阵形式得到

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

  同理如果是偏转 $x$ 方向的话：

  $$\left \{ \begin{aligned} x' & = x \\ y' & = y + x \cdot \tan \theta \end{aligned} \right.$$
  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

• 旋转【Rotation】

  

  假设组成左图的每个像素坐标为 $(x, y)$，组成右图的每个像素坐标为 $(x', y')$，同时左图中左上角和右下角的点分别为 $(0,1)$ 和 $(1, 0)$，这里同样可以从基变换的角度去理解，基于原点的旋转就是将整个基向量进行旋转移动，解旋转矩阵可通过以下方式：
  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

  将左图的点 $(-\sin \theta, \cos \theta) \rightarrow (0, 1)$ 和 $(\cos \theta, \sin \theta) \rightarrow (1, 0)$ 带入上式

  $$\left \{ \begin{aligned} -\sin \theta & = a \times 0 + b \times 1 \\ \cos \theta & = c \times 0 + d \times 1 \\ \cos \theta & = a \times 1 + b \times 0 \\ \sin \theta & = c \times 1 + d \times 0 \end{aligned} \right.$$

  于是可以得到旋转矩阵 $R_\theta$ 为

  $$R_\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$

以上都是线性变换，都可以用以下矩阵形式表达：

• 平移【Translation】

  

  对于平移变换可这样描述坐标的变化：
  $$x' = x + t_x \\ y' = y + t_y$$

  转换为矩阵形式就是

  $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$$

  显然这样的形式和前面的线性变换不一致，为了方便平移这类非线性变换也能使用 $x' = Mx$ 的方式表示，我们引入齐次坐标的概念。

三、齐次坐标【Homogeneous Coordinates】

给二维的向量和点增加一个维度，这样就可以表示所有的变换了。

• 2D Point = $(x, y, 1)^T$
• 2D Vector = $(x, y, 0)^T$

对应的平移可表示为

对于点的齐次表示是增加 1，而向量是 0

这样可以得到一个性质，两个点的坐标相加能够直接表示出两个点的中点。然后通过齐次坐标的形式，我们可以把仿射变换【Affine】都写成以下形式：

• 仿射变换【Affine】= 线性变换 + 平移

• 缩放【Scale】

  $$S(s_x, s_y) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

• 旋转【Rotation】

  $$R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

• 平移【Translation】

  $$T(t_x, t_y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

逆变换【Inverse Transform】

逆变换就是反向变换，比如旋转一个角度，逆变换就是反着旋转回去，只需要左乘变换矩阵的逆矩阵就行，写作 $x' = M^{-1}x$。其中旋转矩阵是正交矩阵，旋转矩阵的转置就是他的逆矩阵。

组合变换【Composing Transforms】

一个变换可以通过不同的多个基本变换组合得到，比如上图的变换可以通过先旋转再平移得到，写作：$V' = M{trans} * M{rotate} * V$

注意：矩阵乘法有结合律但是没有交换律，因此交换变换顺序得到的图像大概率都是不同的。

四、三维变换

三维变换和二维变换类似，这里做一个简单记录：

• 三维向量：$(x, y, z, 0)^T$
• 三维点：$(x, y, z, 1)^T$ 或 $(x, y, z, w)^T = (\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w}, 1)^T$

• 缩放

  $$S(s_x, s_y, s_z) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

• 平移

  $$T(t_x, t_y, t_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

• 旋转

  • 关于 $x$ 轴旋转 $\alpha$ 角度

    $$R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

  • 关于 $y$ 轴旋转 $\alpha$ 角度

    $$R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

  • 关于 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角度

    $$R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

  • 关于任意过原点的向量旋转

    • 罗德里格斯旋转公式【Rodrigues' rotation formula】
    $$R = \cos\theta I + (1 - \cos\theta) nn^T + \sin\theta \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{pmatrix}$$

于是一个三维的旋转可以被看作是一个基于 $x, y, z$ 轴的旋转的组合，也被叫做欧拉角：

常被用于飞行模拟：Roll, Pitch, Yaw

Lecture 4 变换【模型、视图、投影】

观测变换是为了将三维空间中的物体变为二维，观测变换又分为视图变换和投影变换。

想象一下拍照的过程【MVP】：

• 模型变换【Model Transformation】：找到一个好的角度，摆放模型
• 视图变换【View Transformation】：找到一个号的角度设定相机
• 投影变换【Projection Transformation】：按下快门，将三维场景投影到二维相片上

一、视图变换【View / Camera Transformation】

视图变换就是把相机放在空间中某个位置来观察物体，所以这个问题可以转换为如何定义一个摄像机。如何定义一个相机，有三个部分：

• 相机位置【Position】：$\vec{e}$
• 相机观测方向【Gaze Direction】：$\hat{g}$
• 相机头顶方向【Up Direction】：$\hat{t}$

通过相机空间观察物体，当相机和全部物体都在同时移动时是保持相对静止的，所以最后的成像也不会有改变，于是为了简便可以有两种方式：

1. 以相机原点为坐标原点，变换所有的物体
2. 以物体为原点，变换相机

课程里使用的是第一种方法，将相机固定在原点，朝向 $-z$ 轴，并让上方向为 $y$ 轴方向。

将相机从任意位置移动到原点只需要几次仿射变换：

• 平移 $\vec{e}$ 到原点 $(-x, -y, -z)$
• 旋转 $\hat{g}$ 到 $-z$ 轴
• 旋转 $\hat{t}$ 到 $y$ 轴
• 旋转 $(\hat{g} \times \hat{t})$ 到 $x$ 轴

用矩阵表示整个变换过程就是 $M_{view} = R_{view}T_{view}$：

• 平移 $\vec{e}$ 到原点：

  $$T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• 旋转将三个轴与 $x, y, z$ 轴对齐：这里比较麻烦的就在于，将轴旋转回原点是很复杂的，但是我们知道，旋转矩阵是一个正交矩阵，只需要先将坐标轴旋转到向量然后求逆矩阵【因为是正交矩阵所以结果就是转置】就可以得到旋转矩阵：

  $$R_{view}^{-1} = \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & x_t & x_{-g} & 0 \\ y_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_t & y_{-g} & 0 \\ z_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_t & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow R_{view} = \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

二、投影变换【Projection Transformation】

投影是将 3D 转为 2D 的过程，分为正交投影【Orthographic Projection】和透视投影【Perspective Projection】

• 透视投影：成像效果更接近人眼，有近大远小的效果。
• 正交投影：假设视点无限远，看到物体的视野范围是一个长方体，物体的属性在成像上不会受到视角影响，常用于工程制图。

正交投影

正交投影的一种简单的理解方式：

• 相机位于原点看向 $-z$ 方向，上方向为 $y$ 轴方向
• 把 $z$ 轴丢弃
• 将所有的矩形通过平移和缩放规范化到 $[-1, 1]^2$

正交投影的实现和上面的理解会略微不同，比如实现中正交投影就是把一个长方体 $[l, r] \times [b, t] \times [f, n]$ 构成的空间压缩到一个 $[-1, 1]^3$ 的立方体空间中。

注：$l = left,r = right,b = bottom,t = top,f = far,n = near$，其中因为相机朝向是 $-z$ 所以 $n > f$

具体实现需要以下步骤：

1. 把立方体空间平移到原点【空间中心与原点重合】
2. 把空间缩放成 $[-1, 1]^3$

可以用矩阵的方式写作：

空间中立方体的中心点通过定义的六个方向值就可以得到 $(\frac{r + l}{2}, \frac{t + b}{2}, \frac{n + f}{2})$，也就是：

然后是缩放空间，也就是按各个边长和最后规范化构成的比例缩放，因此 $x, y, z$ 方向的缩放因子为：

则缩放矩阵为：

最后可得到正交投影矩阵为：

透视投影

透视投影和正交投影类似，步骤为：

1. 把空间平移到原点
2. 将截锥体空间压缩成长方体【压缩距离较远的平面】
3. 将空间缩放为 $[-1, 1]^3$ 的立方体【正交投影】

相比正交投影，透视投影有一个把锥体变换成立方体的步骤，我们可以把这个步骤写作 $M_{persp \rightarrow ortho}$，我们先了解这个变换的原理才能写出计算的方法：

上图是 $YZ$ 平面的截面， $n$ 代表立方体的 $near$ 面 $f$ 代表 $far$ 面，通过，图中的点 $(x, y, z)$ 在通过变换后会变为 $(x, y', z)$，我们可以写出如下等式：

同理对于 $x$ 我们也可以得到 $x' = \frac{n}{z}x$，但是 $z$ 方向不同，在透视变换的压缩中，点的 $z$ 方向会发生一定程度的变化，因此在这里是 $unknown$ 的状态，然后我们可以得到这样的关系：

对于 $x$ 轴，由 $ax + by + cz + d = nx$ 得到，$a = n$ 其余 $b,c,d$ 都为 $0$，同理求 $y, z$ 轴可得：

第三行表示的是 $z$ 方向的变化，其中我们知道最近点和最远中心点的 $z$ 轴在变化后也是最近点和最远中心点，所以可以写出这样的关系【近平面任何点变化前后都不变，远平面只有中心点是不会变的】：

• 假设近平面的任意点都不会变：

  $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{pmatrix}$$

  同样带入 $ax + by + cn + d = n^2$ 计算，因为结果与 $x, y$ 无关，所以可以假设第三行的四个元素为 $\begin{pmatrix}0 & 0 & A & B\end{pmatrix}$

  $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & A & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = n^2$$

• 同理对于远平面的中心点：

  $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ f \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f^2 \\ f \end{pmatrix}$$
  $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & A & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix} = f^2$$

联立上面的方程组可以得到：

于是整个压缩变换矩阵就是：

所以整个透视变换的矩阵形式就是 $M_{persp} = M_{ortho}M_{persp \rightarrow ortho}$。

通常来说，在实际的工程中，我们通常并不会直接得到正交投影中的 $[l, r]$ 和 $[b, t]$ 的值，但是可以通过一些其他已经定义的东西计算出来，也就是 Field of view【FOV】 和 Aspect ratio【屏幕宽高比】。

FOV 分为 FovY 和 FovX 两个部分，结合屏幕宽高比就可以将 $[l, r]$ 和 $[b, t]$ 算出来：

以 FovY 举例，根据三角函数我们可以写出：

根据宽高比的定义，我们可以得到：

联立方程可以得到：

这样就得到了所有需要的值。

作业 1 题解

对于作业题解，这里按照 Game101 的规范都不会记录相关代码，不过其实网上一搜也能搜到很多了，主要记录一个解题过程。

本次作业主要是使用 CPU 模拟一个光栅化渲染的过程，其中我们需要对 main.cpp 中的函数进行补全：

• get_model_matrix(float rotation_angle)：
  • 将输入的 rotation_angle 值换算成为弧度值，并创建一个旋转矩阵作为输出，交给 set_model函数传给光栅化器。
• get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio, float zNear, float zFar)：
  • 需要返回的是一个投影矩阵，根据输入的 eye_fov，aspect_ratio 和 zNear，zFar 可以得到 l, r, t, b 的值就可以直接构建得到。