正交矩阵

正交矩阵是指其转置等于逆的矩阵，即 $A^{T} = A^{-1}$ 同理可得 $A^{T}A = I$，则 $A$ 为正交矩阵。

特点：

1. 正交矩阵每一列都是单位矩阵，并且两两正交。最简单的正交矩阵就是单位阵。
2. 正交矩阵的逆（inverse）等于正交矩阵的转置（transpose）。同时可以推论出正交矩阵的行列式的值肯定为正负 1 的。
3. 正交矩阵满足很多矩阵性质，比如可以相似于对角矩阵等等。

正交矩阵是一个在三维坐标系中歪着摆的立方体。对角化就是把这个立方体摆正来（也就是让它某一个顶点放在原点上，同时这个顶点的三条边正好对在三维坐标系的xyz三条轴上） —— 花火同学（知乎）

旋转矩阵

旋转矩阵是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果并保持了手性的矩阵。

旋转矩阵是由旋转前后空间的两组基的内积得到，旋转矩阵是行列式为1的正交矩阵。旋转矩阵乘以向量后改变向量的方向，但不改变长度。 —— 蘑菇大将军（知乎）

证明思路：证明 $R^{T} = R^{-1}$

令 $\begin{bmatrix}a, b, c\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}a', b', c'\end{bmatrix}$ 为变换前后同一个向量的两个坐标值，变换两个空间的坐标基为 $\begin{bmatrix}e_1, e_2, e_3\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}e_1', e_2', e_3'\end{bmatrix}$。

由于是同一个向量，在对应基表示下相等：

左乘 $\begin{bmatrix}e_1, e_2, e_3\end{bmatrix}^{T}$，左式由于基向量正交所以得到单位阵

当我们对 $R$ 求转置时，可得 $R^T = R^{-1}$

参考文章：

1. 旋转矩阵(Rotate Matrix)的性质分析
2. 验证旋转矩阵是正交矩阵